导数回顾

基础导数公式

1. 常数函数的导数： 如果f(x) = c (c为常数)，则 f’(x) = 0。
2. 线性函数的导数： 对于一次函数f(x) = ax + b (a, b为常数)，其导数为f’(x) = a。
3. 幂函数的导数： 如果f(x) = x^n (n为实数)，则f’(x) = n*x^(n-1)。
4. 指数函数的导数： 若f(x) = e^x，则f’(x) = e^x。

5. 对数函数的导数： 若f(x) = ln

   x

   (自然对数)，则f’(x) = 1/x (x ≠ 0)。

6. 三角函数的导数：

   若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
   若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
   若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
   

7. 复合函数的导数： 若有函数y = f(g(x))，则根据链式法则，y’ = f’(g(x)) * g’(x)。

运算法则

1. 常数倍法则：(kf(x))’ = kf’(x)，其中 k 是常数。
2. 线性组合法则（加法法则）：(f(x) ± g(x))’ = f’(x) ± g’(x)。
3. 乘积法则：(f(x) * g(x))’ = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)。
4. 商法则（或 quotient rule）：如果 g(x) ≠ 0，则 [(f(x)) / g(x)]’ = [f’(x) * g(x) - f(x) * g’(x)] / [g(x)]^2
5. 链式法则：若y = f(g(x))，则 y’ = f’(g(x)) * g’(x)。

如何求极值点

1. 求导： 首先计算函数 f(x) 的导数，记作 f’(x)。
2. 确定临界点： 寻找导数为零的点或导数不存在（即函数未定义）的点，这些点称为临界点，因为在这点函数的斜率变化或者无法定义斜率。
3. 判断临界点两侧导数符号： 对每个临界点 xk，检查其左右两侧导数 f’(x) 的符号变化。 如果左侧导数为正，右侧导数为负（或反之），则该点可能是极大值点；如果左侧导数和右侧导数均为负（或均为正），那么该点可能不是极值点。
4. 运用二阶导数测试： 为了确认临界点是否为极值点，并且进一步区分是极大值还是极小值，可以使用二阶导数（f’‘(x)）进行检验：
   • 如果 f’(x0) = 0 并且 f’‘(x0) > 0，则 x0 是函数 f(x) 的局部极小值点。
   • 如果 f’(x0) = 0 并且 f’‘(x0) < 0，则 x0 是函数 f(x) 的局部极大值点。
   • 如果 f’‘(x0) = 0，二阶导数测试不充分，需要考虑更高阶导数或者使用其他方法判断。